Расчет неразветвленных цепей переменного тока

Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа

До изучения технологий вычислений необходимо уточнить особенности типовых элементов при подключении к разным источникам питания. При постоянном токе сопротивлением индуктивности можно пренебречь. Конденсатор эквивалентен разрыву цепи. Также следует учитывать следующие различия разных видов соединений резисторов:


  • последовательное – увеличивает общее сопротивление;
  • параллельное – распределяет токи по нескольким ветвям, что улучшает проводимость.

Закон Ома для участка цепи

Типовая аккумуляторная батарея легкового автомобиля вырабатывает напряжение U = 12 V. Бортовой или внешний амперметр покажет соответствующее значение при измерении. Соединение клемм проводом недопустимо, так как это провоцирует короткое замыкание. Если жила тонкая (< 1 мм), высокая плотность тока в соответствующем поперечном сечении быстро увеличит температуру вплоть до теплового разрушения материала с разрывом цепи. Этот пример демонстрирует функциональность обычного плавкого предохранителя.

Подключив нагрузку, можно мультиметром проверить напряжение. Значение этого параметра остается неизменным. Если известно сопротивление (пример – R = 50 Ом), применение закона Ома (I = UR) поможет рассчитать ток:

I = 12/ 50 = 0,24 А.

По вычисленному значению с использованием формулы быстро определяется мощность:

P = I2 *R = U2/ R = 0,0576 * 50 = 2,88 Вт.

К сведению. Результат показанного расчета пригодится для поиска подходящего резистора. Следует делать запас в сторону увеличения. По стандарту серийных изделий подойдет элемент с паспортной номинальной мощностью 5 Вт.

На практике приходится решать более сложные задачи. Так, при значительной длине линии нужно учесть влияние соединительных ветвей цепи. Через стальной проводник ток будет протекать хуже, по сравнению с медным аналогом. Следовательно, надо в расчете учитывать удельное сопротивление материала. Короткий провод можно исключить из расчета. Однако в нагрузке может быть два элемента. В любом случае общий показатель эквивалентен определенному сопротивлению цепи. При последовательном соединении Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn. Данный метод пригоден, если применяется постоянный ток.

Закон Ома для полной цепи

Для вычисления такой схемы следует добавить внутреннее сопротивление (Rвн) источника. Как найти ток, показывает следующая формула:

I = U/ (Rэкв + Rвн).

Вместо напряжения (U) при расчетах часто используют типовое обозначение электродвижущей силы (ЭДС) – E.

Первый закон Кирхгофа

По классической формулировке этого постулата алгебраическая сумма токов, которые входят и выходят из одного узла, равна нулю:

I1 + I2 + … + In = 0.

Это правило действительно для любой точки соединения ветвей электрической схемы. Следует подчеркнуть, что в данном случае не учитывают характеристики отдельных элементов (пассивные, реактивные). Можно не обращать внимания на полярность источников питания, включенных в отдельные контуры.

Чтобы исключить путаницу при работе с крупными схемами, предполагается следующее использование знаков отдельных токов:

  • входящие – положительные (+I);
  • выходящие – отрицательные (-I).

Второй закон Кирхгофа

Этим правилом установлено суммарное равенство источников тока (ЭДС), которые включены в рассматриваемый контур. Для наглядности можно посмотреть, как происходит распределение контрольных параметров при последовательном подключении двух резисторов (R1 = 50 Ом, R2 = 10 Ом) к аккумуляторной батарее (Uакб = 12 V). Для проверки измеряют разницу потенциалов на выводах пассивных элементов:

  • UR1 = 10 V;
  • UR1 = 2 V;
  • Uакб = 12 V = UR1 + UR2 = 10 + 2;
  • ток в цепи определяют по закону Ома: I = 12/(50+10) = 0,2 А;
  • при необходимости вычисляют мощность: P = I2 *R = 0,04 * (50+10) = 2,4 Вт.

Второе правило Кирхгофа действительно для любых комбинаций пассивных компонентов в отдельных ветвях. Его часто применяют для итоговой проверки. Чтобы уточнить корректность выполненных действий, складывают падения напряжений на отдельных элементах. Следует не забывать о том, что дополнительные источники ЭДС делают результат отличным от нуля.

Метод преобразования электрической цепи

Как определить силу тока в отдельных контурах сложных схем? Для решения практических задач не всегда нужно уточнение электрических параметров на каждом элементе. Чтобы упростить вычисления, используют специальные методики преобразования.

Расчет цепи с одним источником питания

Для последовательного соединения пользуются рассмотренным в примере суммированием электрических сопротивлений:

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.

Контурный ток – одинаковый в любой точке цепи. Проверять его можно в разрыве контрольного участка мультиметром. Однако на каждом отдельном элементе (при отличающихся номиналах) прибор покажет разное напряжение. По второму закону Кирхгофа можно уточнить результат вычислений:

E = Ur1 + Ur2 + Urn.

Параллельное соединение резисторов, схемотехника и формулы для расчетов

В этом варианте в полном соответствии с первым постулатом Кирхгофа токи разделяются и соединяются во входных и выходных узлах. Показанное на схеме направление выбрано с учетом полярности подключенного аккумулятора. По рассмотренным выше принципам сохраняется базовое определение равенства напряжений на отдельных компонентах схемы.

Как найти ток в отдельных ветвях, демонстрирует следующий пример. Для расчета приняты следующие исходные значения:

  • R1 = 10 Ом;
  • R2 = 20 Ом;
  • R3= 15 Ом;
  • U = 12 V.

По следующему алгоритму будут определяться характеристики цепи:

базовая формула для трех элементов:

Rобщ = R1*R2*R3/(R1*R2 + R2*R3 + R1*R3.

  • подставив данные, вычисляют Rобщ = 10 * 20 * 15 / (10*20 + 20*15 +10*15) = 3000 /(200+300+150) = 4,615 Ом;
  • I = 12/ 4,615 ≈ 2,6 А;
  • I1 = 12/ 10 = 1,2 А;
  • I2 = 12/20 = 0,6 А;
  • I3 = 12/15 = 0,8 А.

Как и в предыдущем примере, рекомендуется проверить результат вычислений. При параллельном соединении компонентов должно соблюдаться равенство токов на входе и суммарного значения:

I = 1,2 + 0,6 + 0,8 = 2,6 А.

Если применяется синусоидальный сигнал источника, вычисления усложняются. При включении в однофазную розетку 220V трансформатора придется учитывать потери (утечку) в режиме холостого хода. В этом случае существенное значение имеют индуктивные характеристики обмоток и коэффициент связи (трансформации). Электрическое сопротивление (ХL) зависит от следующих параметров:

  • частоты сигнала (f);
  • индуктивности (L).

Вычисляют ХL по формуле:

ХL = 2π * f * L.

Чтобы находить сопротивление емкостной нагрузки, подойдет выражение:

Хc = 1/ 2π * f * C.

Следует не забывать о том, что в цепях с реактивными компонентами сдвигаются фазы тока и напряжения.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Пользуясь рассмотренными принципами, вычисляют характеристики сложных схем. Ниже показано, как найти ток в цепи при наличии двух источников:

  • обозначают компоненты и базовые параметры во всех контурах;
  • составляют уравнения для отдельных узлов: a) I1-I2-I3=0, b) I2-I4+I5=0, c) I4-I5+I6=0;
  • в соответствии со вторым постулатом Кирхгофа, можно записать следующие выражения для контуров: I) E1=R1 (R01+R1)+I3*R3, II) 0=I2*R2+I4*R4+I6*R7+I3*R3, III) -E2=-I5*(R02+R5+R6)-I4*R4;
  • проверка: d) I3+I6-I1=0, внешний контур E1-E2=I1*(r01+R1)+I2*R2-I5*(R02+R5+R6)+I6*R7.

Пояснительная схема к расчету с двумя источниками

Закон Кирхгофа для теплового излучения

Данный закон имеет другое название «третий закон». Сперва для лучшего понимания введем понятие теплового излучения. Принято называть тепловым излучение электромагнитное излучение, возникающее благодаря чужеродной энергии вращательного и колебательного движения атомов, молекул. Данное явление можно обнаружить абсолютно у всех тел, имеющих температуру не равняющуюся нулю или меньше. Основной количественной характеристикой теплового излучения выступает энергетическая светимость. Она должна быть вычислена одной из первых или же указана в условиях. Рассчитать её самостоятельно весьма проблематично. Её значение не постоянное, оно может меняться в зависимости от определенных характеристик: оказывает влияние температура окружающей среды, а также уровень нагретости тела. Имеет значение и длина, чем длиннее — тем значение меньше.

Формула выглядит таким образом:

R = E/(S·t), [Дж/(м2с)] = [Вт/м2]

Ещё одной характеристикой остаётся спектральная плотность энергетической светимости.

Важно ввести ещё одно понятие: коэффициент поглощения – это отношение поглощенной телом энергии к падающей энергии. Только теперь перейдем непосредственно к выделенному закону

Первое, что нужно сказать, что тепловое излучение является равновесной величиной. Это указывает на то, что сколько энергии будет излучаться телом, столько и им же и поглотится. При расчётах данное заявление имеет существенное значение. Можно сразу приравнивать оба значение. Таким образом, для трёх тел, которые находятся в замкнутой полости, формула примет вид:

Закон для теплового излучения

Раннее указанная формула будет верной даже тогда, когда какое-либо тело из указанных будет АЧ:

Закон звучит данным образом: отношение спектральной плотности энергетической светимости тела к его монохроматическому коэффициенту поглощения (при определенной температуре и для определенной длины волны) не зависит от природы тела и равно для всех тел спектральной плотности энергетической светимости при тех же самых температуре и длине волны.

Второй закон

Для расчетов сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии используют второй закон Кирхгофа, который может быть сформулирован так: во всяком замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма всех э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжения в сопротивлениях, включенных последовательно в эту цепь, т. е.

E1 + E2 + E3 + . . . = I1r1 + I2r2 + I3r3 + . . .

При этом положительными следует считать э. д. с. и токи, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Если в электрическую цепь включены два источника энергии, э. д. с. которых совпадает по направлению (рис. 20, а), то э. д. с. всей цепи равна сумме э. д. с. этих источников, т. е. E = E1 + E2. Если же в цепи э. д. с. источников имеют противоположные направления, то результирующая э. д. с. равна разности э. д. с. этих источников, т. е.


E = E1 – E2.

При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением э. д. с. общая э. д. с. равна алгебраической сумме э. д. с. всех источников. При суммировании э. д. с. одного направления берут со знаком плюс, а э. д. с. противоположного направления — со знаком минус. При составлении уравнений выбирают направление обхода цепи и произвольно задаются направлениями токов.

Замкнутая цепь обозначена буквами а, б, в и г. Ввиду наличия ответвлений в точках а, б, в, г токи I1, I2, I3 и I4, отличаясь по силе, могут иметь различные направления. Для такой цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно написать:

E1 – E2 – E3 = I1(r01 + r1) – I2(r02 + r2) – I3(r03 + r3) + I4r4,

где r01, r02, r03 — внутренние сопротивления источников энергии,r1, r2, r3, r4 — сопротивления приемников энергии. В частном случае при отсутствии ответвлений и последовательном соединении проводников общее сопротивление равно сумме всех сопротивлений. Если внешняя цепь источника энергии с внутренним сопротивлением r состоит, например, из трех последовательно соединенных проводников с сопротивлениями, соответственно равными r1, r2, r3, то на основании второго закона Кирхгофа можно написать следующее равенство:

E = I r + I r1 + I r2 + I r3.

При нескольких источниках тока в левой части этого равенства была бы алгебраическая сумма э. д. с. этих источников.

Расчет — неразветвленная цепь

Расчет неразветвленной цепи сравнительно прост, если задан магнитный поток Ф и требуется определить н с. F; это так называемая прямая задача расчета магнитной цепи, которая заключается в определении ЯА.  

Участок цепи постоянного тока.| Схемы генератора напряжения ( о и генератора тока ( б.  

Расчет неразветвленной цепи осуществляется с помощью закона Ома.  

Один из графических методов расчета неразветвленной цепи заключается в построении результирующей вольт-амперной характеристики и решении при помощи нее различных задач.  

Целесообразно ли пользоваться комплексными числами для расчета неразветвленных цепей с одним источником питания.  

Векторы напряжений и тока, построенные по аргументам и модулям их комплексных величин.  

Целесообразно ли пользоваться комплексными числами для расчета неразветвленных цепей. Хотя комплексные числа и позволяют упростить методику-расчета электрических цепей, но арифметические действия при их применении усложняются.  

За исходный вектор принят, как обычно при расчете неразветвленных цепей, вектор тока, а затем проведены векторы падения напряжения на каждом участке схемы, причем направления их относительно вектора тока выбраны в соответствии с характером сопротивления участков.  

По лабораторной работе сделать заключение относительно: а) целесообразности расчета неразветвленной цепи по методу круговой диаграммы; б) причин неполного соответствия расчетных и опытных результатов.  

На практике часто встречаются разветвленные симметричные магнитные цепи, расчет которых сводится к расчету неразветвленной цепи.  

Разветвленная несимметричная магнитная цепь.| К расчету разветвленной магнитной цепи графическим методом.  

Расчет разветвленной симметричной цепи из-за равенств потоков симметричных контуров сводится к расчету одного контура, который выполняют в том же порядке, что и расчет неразветвленной цепи.  

Как известно, неразветвленные цепи рассчитываются сравнительно просто и без применения комплексных чисел. Поэтому при расчетах неразветвленных цепей, обычно их не применяют.  

На рис. 14.7, б построена векторная диаграмма, соответствующая этому уравнению. За исходный, как обычно при расчете неразветвленных цепей, принят вектор тока, а затем проведены векторы падения напряжения на каждом участке схемы, причем направления их относительно ветора тока выбраны в соответствии с характером сопротивления участков.  

Магнитная цепь четырех полюсной машины.| Магнитная цепь многополюсной машины. Потоки рассеяния.  

Метод контурных токов

Рассмотренный выше метод расчета электрических цепей при анализе больших и разветвленных цепей приводит к неоправданно трудоемким расчетам, поэтому редко применяется. Более широко используется метод контурных токов, позволяющий значительно сократить количество уравнений. При этом вместо токов в ветвях электрической цепи определяются так называемые контурные токи при помощи второго закона Кирхгофа. Таким образом, количество требуемых уравнений будет равняться числу независимых контуров. В качестве примера рассчитаем цепь изображённую на рисунке ниже

Если бы мы вели расчёт цепи по методу законов Ома и Кирхгофа, то необходимо было бы решить систему из пяти уравнений. Для расчёта по методу контурных токов необходимо всего три уравнения.

В начале расчёта выделяют независимые контуры, в нашем случае это: E1R1R2E2, E2R2R4E3R3 и E3R4R5. Затем контурам присваивают произвольно направленный контурный ток, который имеет одинаковое направление для всех участков выбранного контура, в нашем случае для первого контура контурный ток будет Ia, для второго – Ib, для третьего – Ic. Как видно из рисунка некоторые контурные токи соответствуют токам в ветвях

Остальные же токи можно найти как разность двух контурных токов

В результате выбора контурных токов можно составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа

Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений

В результате решения системы получим Ia = I1 = 4,286 А, Ib = I3 = 3,571 А, Ic = I5 = -0,714 А, I2 = -0,715 А, I4 = 4,285 А. Так же как и в предыдущем случае если токи получаются отрицательными, значит действительное направление противоположно принятому. Таким образом, токи I2 и I5 имеют направление противоположное изображённым на рисунке.


С этим читают